home | login | register | DMCA | contacts | help | donate |      

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


my bookshelf | genres | recommend | rating of books | rating of authors | reviews | new | форум | collections | читалки | авторам | add

реклама - advertisement



Глава 35

ПАРАМАГНЕТИЗМ И МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС


§ 1. Квантованные магнитные состояния

§ 2. Опыт Штерна — Герлаха

§ 3. Метод молекулярных пучков Раби

§ 4. Парамагнетизм

§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничива­нием

§ 6. Ядерный магнитный резонанс

Повторить: гл. 1 (вып. 5) «Внутреннее устройство диэлектрика


§ 1. Квантованные магнитные состояния

В предыдущей главе мы говорили, что в квантовой механике момент количества движе­ния системы не может иметь произвольного направления, а его компоненты вдоль данной оси могут принимать только определенные дискретные эквидистантные значения. Это по­разительная, но характерная особенность кван­товой механики. Вам может показаться, что еще слишком рано влезать в такие вещи, что надо подождать, пока вы хоть немного не привыкнете к ним и не будете готовы воспри­нимать подобные идеи. Но дело в том, что при­выкнуть к ним вы никогда не сможете. Вы никогда не сможете легко их воспринимать. Это, пожалуй, самое сложное из всего, что я рассказывал вам до сих пор и, главное, нет способа описать это как-то более вразумительно и не так хитроумно и сложно по форме. Поведе­ние вещества в малых масштабах, как я уже говорил много раз, отличается от всего того, к чему вы привыкли, и поистине весьма странно. Вы, конечно, согласитесь, что было бы неплохо попытаться поближе познакомиться с явлени­ями в малом масштабе, продолжая одновремен­но использовать классическую физику, и приобрести поначалу хоть какой-то опыт, пусть даже не понимая всего достаточно глубоко. Понимание этих вещей приходит очень медлен­но, если оно приходит вообще. Конечно, по­немногу начинаешь чувствовать, что может и что не может произойти в данной квантовомеханической ситуации, а это, возможно, и называ­ется «пониманием», но добиться приятного чувства «естественности» квантовомеханических правил здесь невозможно. Они-то, конечно, естественны, но с точки зрения нашего повседневного опыта на привычном уровне остаются очень уж необыч­ными. Мне бы хотелось объяснить вам, что позиция, которую мы собираемся занять по отношению к этому правилу о дискрет­ности значений момента количества движения, совершенно отлична от отношения ко многим другим вещам, о которых шла речь. Я даже не буду пытаться «объяснять» его, но должен хоть рассказать вам, что получается. Было бы нечестно с моей стороны, описывая магнитные свойства материалов, не указать, что классическое объяснение магнетизма, т. е. момента коли­чества движения и магнитного момента, несостоятельно.

Одно из наиболее необычных следствий квантовой механики состоит в том, что момент количества движения вдоль любой оси всегда оказывается равным целой или полуцелой доле h, причем какую бы ось вы ни взяли, это всегда будет так. Пара­доксальность здесь заключается в следующем любопытном фак­те: если вы возьмете любую другую ось, то окажется, что ком­поненты относительно этой оси тоже будут взяты из того же самого набора значений. Однако оставим рассуждения до того времени, когда у вас наберется достаточно опыта и вы сможете насладиться тем, как этот кажущийся парадокс в конце концов разрешится.

Сейчас просто примите на веру, что у каждой атомной сис­темы есть число j, называемое спином системы (оно может быть либо целым, либо полуцелым), и что компоненты момента коли­чества движения относительно любой данной оси всегда при­нимают одно из значений между +jhи -jh:

7. Физика сплошных сред

Мы упомянули также, что магнитный момент любой простой атомной системы имеет то же самое направление, что и ее момент количества движения. Это справедливо не только для атомов или ядер, но и для элементарных частиц. Каждая элементарная частица обладает характерной для нее величиной j и своим собственным магнитным моментом. (Для некоторых частиц обе они равны нулю.) Мы понимаем под «магнитным моментом системы», что ее энергия в направленном по оси z магнитном поле для слабых полей может быть записана как — mzВ. Мы должны условиться не брать слишком больших полей, ибо они будут возмущать внутренние движения системы и энергия не будет мерой магнитного момента, который система имела до включения магнитного поля. Но если поле достаточно слабо, то оно изменяет энергию на величину

DU=-mzB, (35.2)

с тем условием, что в этом выражении мы должны сделать под­становку

7. Физика сплошных сред

причем Jzравно одному из значений (35.1).

Предположим, что мы взяли систему со спином j=3/2 В отсутствие магнитного поля у системы было бы четыре раз­личных возможных состояния, соответствующих различным значениям Jz с одной и той же энергией. Но в тот момент, когда мы включаем магнитное поле, появляется дополнительная энергия взаимодействия, которая разделяет эти состояния на четыре состояния, слабо различающиеся по энергии, или, как говорят, первоначальный энергетический уровень расщепился; на четыре новых уровня. Эти уровни определяются энергией, пропорциональной произведению В на h, и на 3/2, 1/2 , -1/2 или -3/2 в зависимости от величины Jг. Расщепление энерге­тических уровней в атомной системе со спинами 1/2, 1 и 3/2 показаны на фиг. 35.1.

7. Физика сплошных сред

(Вспомните, что для любого расположе­ния электронов магнитный момент всегда направлен противо­положно моменту количества движения.)

Обратите внимание, что «центр тяжести» энергетических уровней на фиг. 35.1 один и тот же как в присутствии магнит­ного поля, так и без него. Заметьте также, что все расстояния от одного уровня до следующего для данной частицы в данном магнитном поле равны между собой. Расстояние между уровнями для данного магнитного поля В мы будем записывать как hwp, что является просто определением wp . Воспользовавшись (35.2) и (35.3), получим

hwp=g(qe/2m)hB.

или

wp=g(qe/2m)B.(35.4)

Величина g(qe/2m) равна просто отношению магнитного момента к моменту количества движения и характеризует свойства частицы. Формула (35.4) в точности совпадает с формулой, полу­ченной нами в гл. 34 для угловой скорости прецессии гироскопа с магнитным моментом (m и моментом количества движения J в магнитном поле.

§ 2. Опыт Штерна — Герлаха

Факт квантования момента количества движения — вещь настолько удивительная, что мы поговорим немного об ее истории. Ученый мир был буквально потрясен, когда было сделано это открытие (даже несмотря на то, что это ожидалось теоретически). Первыми экспериментально наблюдали этот факт Штерн и Герлах в 1922 г. Если хотите, опыт Штерна и Герлаха можно рассматривать как прямое подтверждение кван­тования момента количества движения. Штерн и Герлах по­ставили эксперимент по измерению магнитного момента отдель­ных атомов серебра. Испаряя серебро в горячей печи и пропуская пары серебра через систему маленьких отверстий, они получа­ли пучок атомов серебра. Этот пучок направлялся между полюсными наконечниками специального магнита (фиг. 35.2).

7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.2. Опыт Штерна и Герлаха.

Идея заключалась в следующем. Если магнитный момент ато­мов серебра равен m, то в магнитном поле В, направленном по оси z, они приобретут добавочную энергию -mzB. В класси­ческой теории mг равно произведению магнитного момента на косинус угла между моментом и магнитным полем, так что до­полнительная энергия в поле была бы равна

DU=-mBcosq. (35.5)

Разумеется, когда атомы вылетают из печи, их магнитные мо­менты имеют любые направления, поэтому возможны все зна­чения угла 0. Но если магнитное поле быстро изменяется с изменением z, т. е. если есть большой градиент, магнитная энер­гия с изменением положения тоже меняется, а поэтому на маг­нитные моменты действует сила, направление которой зависит от того, будет ли косинус положительным или отрицательным. Атомы при этом должны отклоняться вверх или вниз силой, пропорциональной производной магнитной энергии; из прин­ципа виртуальной работы

Fz=-дU/дz=mcosq(дB/дz). (35.6)

Чтобы получить очень быстрое изменение магнитного поля, Штерн и Герлах сделали один из полюсных наконечников сво­его магнита очень острым. Пучок атомов серебра направлялся прямо вдоль этого острого края, так что на атомы в таком не­однородном поле должна была действовать вертикальная сила. Атомы серебра с горизонтально направленными магнитными моментами не чувствовали бы никакой силы и проходили бы через магнит без отклонения. На атомы, магнитный момент которых направлен в точности вертикально, действовала бы максимальная сила по направлению к острому краю магнита. А атомы с магнитным моментом, направленным вниз, чувство­вали бы силу, тянущую их вниз. Следовательно, покинув маг­нит, атомы должны были «расползтись» в соответствии с вер­тикальными компонентами своих магнитных моментов. В клас­сической теории возможны любые углы, так что после осаждения пучка на стеклянной пластинке следовало ожидать «размазы­вания» его по вертикальной линии. Высота линии при этом должна была быть пропорциональной величине магнитного момента. Однако когда Штерн и Герлах увидели, что получается на самом деле, то полное поражение классических понятий ста­ло явным. На стеклянной пластинке они обнаружили два от­дельных пятнышка. Пучок атомов серебра распался на два пучка.

Самое удивительное, что пучок атомов, спины которых, ка­залось бы, должны были быть направлены совершенно случайно, расщепился на два отдельных пучка. Откуда магнитный момент может знать, что ему полагается иметь определенные компоненты вдоль направления магнитного поля? Этот вопрос и послужил началом открытия квантования момента количества движения, и я не буду сейчас даже пытаться дать вам теорети­ческое объяснение, а просто призову вас поверить в результаты этого эксперимента так же, как физики тех дней были вынуж­дены их признать. То, что энергия атома в магнитном поле мо­жет принимать только какой-то набор дискретных значений,— экспериментальный факт. Для каждого из этих значений энер­гия пропорциональна напряженности поля. Так что в той об­ласти, где поле изменяется, принцип виртуальной работы гово­рит нам, что возможные магнитные силы, действующие на ато­мы, могут принимать только дискретные значения: для каждого состояния силы оказываются различными и пучок атомов рас­щепляется на небольшое число отдельных пучков. Измеряя отклонение пучка, можно найти величину магнитного момента.

§ 3. Метод молекулярных пучков Раби

Теперь мне бы хотелось описать улучшенную аппаратуру для измерения магнитных моментов, разработанную И. Раби и его сотрудниками. В экспериментах Штерна — Герлаха от­клонение атомов было очень небольшим и измерения магнитных моментов не очень точными. А техника Раби позволяет добиться фантастической точности при измерении магнитных моментов. Метод основан на том факте, что в магнитном поле первоначаль­ная энергия атомов расщепляется на конечное число энергети­ческих уровней. Тот факт, что энергия атома может иметь толь­ко определенные дискретные значения, на самом деле не более удивителен, чем то, что атом вообще имеет дискретные энерге­тические уровни; об этом мы часто говорили в начале курса. Почему бы этого не могло происходить и с атомами в магнитном поле? Так именно все и происходит. Однако когда пытаются связать расщепление с идеей ориентированных магнитных моментов, то в квантовой механике появляются некоторые странные выводы.

Когда атом имеет два уровня, отличающихся по энергии на величину DU, это может вызвать переход с верхнего уровня на нижний с излучением кванта света

hw=DU, (35.7)

где w — частота.

То же самое может произойти и с атомами в магнитном поле. Но только разность энергий настолько мала, что частота ее соответствует не свету, а микроволнам или радиочастотам. Переход с нижнего энергетического уровня на верхний может также происходить с поглощением света или (в случае атомов в магнитном поле) микроволновой энергии. Итак, если у нас есть атом в магнитном поле, то, прикладывая дополнительное электромагнитное поле надлежащей частоты, мы можем вызвать переход из одного состояния в другое. Другими словами, если у нас есть атом в сильном магнитном поле и мы будем «щеко­тать» его слабым переменным электромагнитным полем, то име­ется некоторая вероятность «выбить» его на другой уровень, когда частота поля близка к w, определяемой соотношением (35.7). Для атома в магнитном поле эта частота в точности равна частоте, названной нами wри зависящей от магнитного поля, согласно формуле (35.4). Если атом «щекотать» с другой час­тотой, то вероятность перехода станет очень мала. Таким образом, вероятность перехода при частоте wримеет резкий резо­нанс. Измеряя частоту этого резонанса в известном магнитном поле В, можно измерить величину g(q/2m), а следовательно, и g-фактор, причем с огромной точностью.

Интересно, что к такому же заключению можно прийти и с классической точки зрения. В соответствии с классической картиной, когда мы помещаем гироскоп, обладающий магнит­ным моментом m, и моментом количества движения 3, во внешнее магнитное поле, гироскоп начнет прецессировать вокруг оси, параллельной этому полю (фиг. 35.3).


7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.3. Классическая прецессия атома с магнитным моментом m и моментом количества движения J,

Предположим, нас инте­ресует, как можно изменить угол классического гироскопа по отношению к магнитному полю, т. е. по отношению к оси z? Магнитное поле создает момент силы относительно горизон­тальной оси. На первый взгляд кажется, что такой момент силы старается выстроить магниты в направлении поля, но он вызывает только прецессию. Если же мы хотим изменить угол гироскопа по отношению к оси z, то должны приложить момент силы относительно оси z. Если мы приложим момент силы, действующий в том же направлении, что и прецессия, угол гироскопа изменится и это приведет к уменьшению компоненты J в направлении оси z. Угол между направлением J и осью z на фиг. 35.3 должен увеличиться. Если мы попытаемся воспре­пятствовать прецессии, вектор J будет двигаться по направле­нию к вертикали.

Но каким образом к наше­му прецессирующему атому можно приложить нужный момент силы? Ответ: с по­мощью слабого магнитного поля, направленного в сто­рону. На первый взгляд вам может показаться, что нап­равление этого магнитного поля должно крутиться вмес­те с прецессией магнитного момента, так чтобы поле всегда было направлено к нему под прямым углом, как это показано на фиг. 35.4, а с помощью поля В'.

7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.4. Угол прецессии атом­ного магнитика можно изменить двумя путями:

а — горизонтальным магнитным полем, направленным всегда под прямым уг­лом к m; б—осциллирующим полем.

Такое поле работает очень хорошо, однако нисколько не хуже действует и переменное горизонтальное поле. Если у нас есть горизонтальное поле В', которое всегда направлено по оси х (в положительную или отрицательную сторону) и которое ос­циллирует с частотой wp, тогда через каждые полпериода дей­ствующая на магнитный момент пара сил переворачивается, так что получается суммарный эффект, который почти столь же эффективен, как и вращающееся магнитное поле. С точки зрения классической физики мы бы ожидали при этом измене­ния компоненты магнитного момента вдоль оси z, если у нас есть очень слабое магнитное поле, осциллирующее с частотой, в точности равной wp. Разумеется, по классической физике mг должно изменяться непрерывно, но в квантовой механике z-компонента магнитного момента не может быть непрерывной. Она должна неожиданно «прыгать» от одного значения до дру­гого. Я сравнивал следствия классической и квантовой меха­ники, чтобы дать вам понятие о том, что может происходить классически, и как это связано с тем, что происходит на самом деле в квантовой механике. Обратите внимание, между прочим, что в обоих случаях ожидаемая резонансная частота одна и та же.

Еще одно дополнительное замечание. Из того, что мы гово­рили о квантовой механике, не видно, почему переходы не могут происходить при частоте 2wр. Оказывается, что в классическом случае этому совершенно нет никакого аналога, но в квантовой механике такие переходы невозможны, по крайней мере в описанном нами способе вынужденных переходов. При гори­зонтальном осциллирующем магнитном поле вероятность того, что частота 2wp вызовет скачок сразу на два шага, равна нулю. Все переходы, будь то переход вверх или вниз, предпочитают происходить только при частоте wр.

Вот теперь мы готовы к описанию метода Раби. Здесь мы опишем только, как этот метод измерения магнитных моментов работает в случае частиц со спином 1/2. Схема аппаратуры пока­зана на фиг. 35.5.

7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.5. Схема установки Раби в опытах с молекулярными пучками.

Вы видите здесь печь, которая создает поток нейтральных атомов, летящих по прямому пути через три магнита. Магнит 1 — такой же, как и на фиг. 35.2, он создает поле; с большим, скажем положительным, градиентом dBz/dz. Если атомы обладают магнитным моментом, то они будут отклоняться вниз при Jz=+h/2 или вверх приJz =-h/2 (поскольку для электронов m направлен противоположно J). Если мы будем рассматривать только те атомы, которые могут проходить через щель S1, то, как это показано на фиг. 35.5, возможны две траектории. Чтобы попасть в щель, атомы с Jz=+h/2 долж­ны лететь по кривой а, а атомы с Jz=-h/2 — по кривой b. Атомы, вылетающие из печи в другом направлении, вообще не попадут в щель.

Магнит 2 создает однородное поле. В этой области на атомы никакие силы не действуют, поэтому они просто пролетают через нее и попадают в магнит 3. Этот магнит представляет собой копию магнита 1, но с перевернутым полем, так что у него, dBz/dz имеет отрицательный знак. Атомы с Jz=+h/2 (будем говорить «со спином, направленным вверх»), которые в магните 1 отклонялись вниз, в магните 3 будут отклоняться вверх; они продолжат свой полет по траектории а и через щель S2попадут в детектор. Атомы с Jz=-h/2 («со спином, направленным вниз») в магнитах 1 и 3 тоже будут испытывать действие противоположных сил и полетят по траектории b, которая через щель S2тоже приведет их в детектор.

Детектор можно сделать разными способами в зависимости от измеряемых атомов. Так, для щелочных металлов, подобных натрию, детектором может служить тонкая раскаленная вольфрамовая нить, подсоединенная к чувствительному гальванометру. Атомы натрия, оседая на этой нити, испаряются в виде ионов Na+ и оставляют на ней электрон. Возникает ток, про­порциональный числу осевших в 1 сек атомов натрия.

В щели магнита 2 находится набор катушек, которые созда­ют небольшое горизонтальное магнитное поле В'. Эти катушки питаются током, осциллирую­щим с переменной частотой w, так что между полюсами магнита 2 создается сильное вертикальное магнитное поле В0 и слабое осциллирующее гори­зонтальное магнитное поле В'.

Предположим теперь, что частота со осциллирующего поля подобрана равной wp — частоте «прецессии» атомов в поле В. Переменное поле вызовет у некоторых из пролетающих атомов переход от одного значения Jzк другому. Атомы, спины которых были первоначально направлены вверх (Jг=+h/2), могут перевернуться вниз (Jz=-h/2). Теперь магнитный момент этих атомов перевернут, так что в магните 3 они будут чувство­вать силу, направленную вниз, и полетят по траектории а', как показано на фиг. 35.5. Теперь они уже не смогут пройти через щель S2 и попасть в детектор. Точно так же некоторые из атомов, спин которых был первоначально направлен вниз

(Jz=-h/2), перевернутся при прохождении через магнит 2 вверх (Jz=+h/2). После этого они полетят по траектории b' и не попадут в детектор.

Если частота осциллирующего поля В' значительно отли­чается от wp оно не сможет вызвать переворачивания спина и атомы по своим «невозмущенным» орбитам пройдут прямо к детектору. Итак, как видите, можно найти частоту «прецессии» атомов wp в поле В0, подбирая частоту со магнитного поля В', пока не получим уменьшения тока атомов, приходящих в де­тектор. Уменьшение тока будет происходить тогда, когда w попадет «в резонанс» с wp. График зависимости тока в детекторе от со может напоминать кривую, изображенную на фиг. 35.6.

7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.6. Количество атомов в пучке при w=wp уменьшается.

Зная w , можно найти величину g для данного атома.

Такой резонансный эксперимент с атомными или, как их часто называют, «молекулярными» пучками представляет очень красивый и точный способ измерения магнитных свойств атом­ных объектов. Резонансную частоту wp можно определить с очень большой точностью, по сути дела значительно точнее, нежели мы способны измерить поле В0, необходимое при на­хождении g.

§ 4. Парамагнетизм

Теперь мне бы хотелось описать явление парамагнетизма вещества. Предположим, имеется вещество, в составе которого имеются атомы, обладающие постоянным магнитным моментом, например кристаллы медного купороса. В этих кристаллах содержатся ионы меди, у которых электроны на внутренних оболочках имеют суммарный момент количества движения и магнитный момент, не равные нулю. Таким образом, ионы меди будут источником постоянного магнитного момента молекул купороса. Буквально несколько слов о том, какие атомы имеют постоянный магнитный момент, а какие — нет. Любой атом, у которого число электронов нечетно, подобно натрию, напри­мер, будет иметь магнитный момент. На незаполненной оболочке натрия имеется один электрон. Этот электрон и определяет спин и магнитный момент атома. Однако обычно при образовании соединения этот дополнительный электрон на внешней оболочке спаривается с другим электроном, направление спина которого в точности противоположно, так что все моменты количества движения и магнитные моменты валентных электронов в точности компенсируют друг друга. Вот почему молекулы, вообще го­воря, не обладают магнитным моментом. Конечно, если у вас есть газ атомов натрия, то там такой компенсации не происхо­дит. Точно так же если у вас есть то, что в химии называется «свободным радикалом», т. е. объект с нечетным числом валент­ных электронов, то связи оказываются неполностью насыщен­ными и появляется ненулевой момент количества движения.

У подавляющего большинства материалов полный магнитный момент появляется только тогда, когда там присутствуют атомы с незаполненной внутренней электронной оболочкой. Благода­ря этому они могут иметь суммарный момент количества дви­жения и магнитный момент. Такие атомы принадлежат к «пере­ходным элементам» периодической таблицы Менделеева, на­пример: хром, марганец, железо, никель, кобальт, палладий и платина — элементы как раз такого сорта. Кроме того, все редкоземельные элементы имеют незаполненную внутреннюю оболочку, а следовательно, и постоянные магнитные моменты. Правда, встречаются еще странные вещества (к числу их отно­сятся жидкий кислород и окись азота), которые, оказывается, тоже обладают магнитным моментом, но объяснить причины этих странностей я предоставляю химикам.

Предположим теперь, что у нас есть ящик, наполненный молекулами или атомами с постоянным магнитным моментом, скажем газ, жидкость или кристалл. Нам хочется знать, что получится, если мы поместим его во внешнее магнитное поле. В отсутствие магнитного поля атомы сбиваются тепловым движением и их магнитные моменты распределяются по всем направлениям. Но когда действует магнитное поле, оно выстра­ивает эти маленькие магнитики, так что магнитных моментов, направленных по полю, становится больше, чем направленных против него. Материал «намагничивается».

Намагниченность М материала мы определяем как полный магнитный момент единицы объема, под которым мы понимаем векторную сумму всех атомных магнитных моментов единицы объема. Если среднее число атомов в единице объема равно N, а их средний момент равен <m>cp, то М можно записать как про­изведение N на средний магнитный момент:

м = n<m>cp. (35.8)

Это определение М аналогично определению электрической поляризации Р, данному в гл. 10 (вып. 5).

Классическая теория парамагнетизма, как вы уже убедились в гл. 10 (вып. 5), в точности аналогична теории диэлектрической проницаемости. Предполагается, что магнитный момент m каждого из атомов всегда имеет одну и ту же величину, но может быть направлен в любую сторону. Магнитная энергия в поле В равна -m·B=-mBcosq, где q — угол между моментом и полем. Согласно статистической физике, относительная вероят­ность угла равна e-энергия/kT так что угол 0° более вероятен, чем угол p. Следуя в точности по пути, проделанному нами в гл. 11, § 3 (вып. 5), мы обнаружим, что для слабых магнитных полей М направлена параллельно В и имеет величину

7. Физика сплошных сред

[См. выражение (11.20), вып. 5.] Эта приближенная формула верна, только когда отношение mB/kT много меньше единицы.

Мы нашли, что намагниченность, т. е. магнитный момент единицы объема, пропорциональна магнитному полю. Это яв­ление и называется парамагнетизмом. Вы увидите, что эффект сильнее проявляется при низких температурах и слабее при высоких. При помещении вещества в магнитное поле возникаю­щий в нем магнитный момент в случае слабых полей пропор­ционален величине поля. Отношение М к В (для слабых полей) называется магнитной восприимчивостью.

Рассмотрим теперь парамагнетизм с точки зрения квантовой механики. Обратимся сначала к атомам со спином 1/2. Если в отсутствие магнитного поля атомы обладают вполне определенной энергией, то в магнитном поле энергия изменится; возможны два значения энергии для разных значений Jz. Для Jz=+h/2

магнитное поле изменяет энергию на величину

7. Физика сплошных сред

(Для атомов сдвиг энергии DU положителен, ибо заряд элек­трона отрицателен.) Для Jг =-h/2 энергия изменяется на величину

7. Физика сплошных сред

Для сокращения записи обозначим

7. Физика сплошных сред

тогда

DU = ±m0В. (35.13)

Совершенно ясен и смысл m0; — m0равно z-компоненте маг­нитного момента для спина, направленного вверх, а + m0 равно z-компоненте магнитного момента в случае спина, на­правленного вниз.

Статистическая механика говорит нам, что вероятность нахождения атома в каком-то состоянии пропорциональна

g-(энергия состояния)/kT.

В отсутствие магнитного поля энергия обоих состояний одна и та же, поэтому в случае равновесия в магнитном поле ве­роятности пропорциональны

е-DU/kT, (35.14)

Число же атомов в единице объема со спином, направленным вверх, равно

7. Физика сплошных сред

а со спином, направленным вниз,

7. Физика сплошных сред

Постоянная а должна определяться из условия

Nвверх+Nвниз=N (35.17)

т.е. равна полному числу атомов в единице объема. Таким образом, мы получаем

7. Физика сплошных сред

Однако нас интересует средний магнитный момент в на­правлении оси z. Каждый атом со спином, направленным вверх, дает в этот момент вклад, равный -m0, а со спином, направленным вниз, + m0, так что средний момент будет

7. Физика сплошных сред

Тогда М — магнитный момент единицы объема — будет равен Nср. Воспользовавшись выражениями (35.15)—(35.17), по­лучим

7. Физика сплошных сред

Это и есть квантовомеханическая формула для М в случае атомов со спином j=1/2. К счастью, ее можно записать более коротко через гиперболический тангенс:

7. Физика сплошных сред

График зависимости М он В приведен на фиг. 35.7.

7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.7. Изменение намаг­ниченности парамагнетика при изменении напряженности магнитного поля В.

Когда поле В становится очень большим, гиперболический тангенс приближается к единице, а М — к своему предельному зна­чению Nm0. Таким образом, при сильных полях происходит насыщение. Нетрудно понять, почему так получается — ведь при достаточно больших полях все магнитные моменты выстраи­ваются в одном и том же направлении. Другими словами, при насыщении все атомы находятся в состоянии со спинами, направленными вниз, и каждый из них дает вклад в магнитный момент, равный m0.

Обычно при комнатной температуре и полях, которые можно получить (порядка 10000 гс), отношение m0B/kT равно при­близительно 0,02. Чтобы наблюдать насыщение, необходимо спуститься до очень низких температур. Для комнатной и более высоких температур обычно можно thx заменить на x и написать

7. Физика сплошных сред

Точно так же, как и в классической теории, намагничен­ность М оказывается пропорциональной полю В. Даже формула оказывается той же самой, за исключением того, что в ней, по-видимому, где-то потерян множитель 1/3. Но нам еще нужно связать m0в квантовомеханической формуле с величиной m, которая появилась в классическом результате, в выражении (35.9).

В классической формуле у нас появилось m2=m·m — квадрат вектора магнитного момента, или

7. Физика сплошных сред

В предыдущей главе я уже говорил, что очень часто правильный ответ можно получить из классических вычислений с заменой J·J на j(j+1)h2. В нашем частном примере j=1/2, так что

j(j+1)h2=3/4h2.

Подставляя этот результат вместо J·J в (35.23), получаем

7. Физика сплошных сред

или, вводя величину m0, определенную соотношением (35.12), получаем

m·m=3m20.

Подставляя это вместо m2 в классическое выражение (35.9), мы действительно воспроизведем истинный квантовомеханический результат — формулу (35.22).

Квантовая теория парамагнетизма легко распространяется на атомы с любым спином j. При этом для намагниченности в слабом поле получим

7. Физика сплошных сред

где

7. Физика сплошных сред

представляет комбинацию постоянных с размерностью магнит­ного момента. Моменты большинства атомов приблизительно равны этой величине. Она называется магнетоном Бора. Спи­новый магнитный момент электрона почти в точности равен

§ 5. Охлаждение адиабатическим размагничиванием

Парамагнетизм имеет одно весьма интересное применение. При очень низкой температуре и в сильном магнитном поле атомные магнитики выстраиваются. При этом с помощью про­цесса, называемого адиабатическим размагничиванием, можно получить самые низкие температуры. Возьмем какую-то пара­магнитную соль, содержащую некоторое число редкоземель­ных атомов (например, аммиачный нитрат празеодима), и начнем охлаждать ее жидким гелием до 1—2° К в сильном магнитном поле. Тогда показатель mВ/kT будет больше единицы, скажем 2 или 3. Большинство спинов направлено вверх, и намагни­ченность почти достигает насыщения. Для облегчения давайте считать, что поле настолько велико, а температура так низка, что все атомы смотрят в одном направлении. Теплоизолируйте затем соль (удалив, например, жидкий гелий и создав вакуум) и выключите магнитное поле. При этом температура соли падает.

Если бы это поле вы выключили внезапно, то раскачивание и сотрясение атомов кристаллической решетки постепенно перепутало бы все спины. Некоторые из них остались бы на­правленными вверх, а другие повернулись бы вниз. Если ника­кого поля нет (и если не учитывать взаимодействия между атом­ными магнитами, которое привносит только небольшую ошибку), то на переворачивание магнитиков энергии не потребуется. Поэтому случайное распределение спинов установится без какого-либо изменения температуры.

Предположим, однако, что в то время как спины перевора­чиваются, магнитное поле еще не вполне исчезло. Тогда для переворачивания спинов против поля требуется некоторая работа, она должна затрачиваться на преодоление поля. Этот процесс отбирает энергию у теплового движения и понижает температуру. Таким образом, если сильное магнитное поле выключается не слишком быстро, температура соли будет уменьшаться. Размагничиваясь, она охлаждается. С точки зрения квантовой механики, когда поле сильно, все атомы находятся в наинизшем состоянии, так как слишком много шансов против того, чтобы они находились в высшем состоянии. Но как только напряженность поля понижается, тепловые флуктуации со все большей и большей вероятностью будут «выталкивать» атомы на высшее состояние, и когда это происходит, атом поглощает энергию DU=m0B. Таким образом, если магнитное поле выключается медленно, магнитные переходы могут отбирать энергию у тепловых колебаний кристалла, тем самым охлаждая его. Таким способом можно понизить температуру от нескольких градусов до температуры в несколько тысячных долей градуса от абсолютного нуля.

А если нам захочется охладить что-то еще сильнее? Оказы­вается, что здесь природа тоже была очень предусмотрительной. Я уже упоминал, что магнитные моменты есть и у атомных ядер. Наши формулы для парамагнетизма работают и в случае ядер, только надо иметь в виду, что моменты ядер приблизительно в тысячу раз меньше. (По порядку величины они равны qh/2mp, где mpмасса протона, так что они меньше в число раз, равное отношению масс протона и электрона.) Для таких магнитных моментов даже при температуре 2° К показатель mB/kT со­ставляет всего несколько тысячных. Но если мы используем парамагнитное размагничивание и достигнем температуры не­скольких тысячных градуса, то mB/kT становится порядка единицы; при столь низких температурах мы уже можем гово­рить о насыщении ядерного магнетизма. Это очень кстати, ибо теперь, воспользовавшись адиабатическим размагничиванием системы магнитных ядер, можно достичь еще более низких температур. Таким образом, в магнитном охлаждении возмож­ны две стадии. Сначала мы используем диамагнитное размагни­чивание парамагнитных ионов и спускаемся до нескольких тысячных долей градуса. Затем мы применяем холодную пара­магнитную соль для охлаждения некоторых материалов, обла­дающих сильным ядерным магнетизмом. И, наконец, когда мы выключаем магнитное поле, температура материалов дохо­дит до миллионных долей градуса от абсолютного нуля, если, конечно, все было проделано достаточно тщательно.

§ 6. Ядерный магнитный резонанс

Я уже говорил, что атомный парамагнетизм очень слаб и что ядерный магнетизм в тысячу раз слабее его. Но все же с помощью явления, называемого «ядерным магнитным резонан­сом», наблюдать его относительно легко. Предположим, что мы взяли такое вещество, как вода, у которого все электронные спины в точности компенсируют друг друга, так что их полный магнитный момент равен нулю. У таких молекул все же оста­нется очень-очень слабый магнитный момент благодаря наличию магнитного момента у ядер водорода. Предположим, что мы по­местили небольшой образец воды в магнитное поле В. Поскольку спин протонов (входящих в атом водорода) равен 1/2, то у них возможны два энергетических состояния. Если вода находится в тепловом равновесии, то протонов в нижнем энергетическом состоянии, моменты которых направлены параллельно полю, будет немного больше. Поэтому каждая единица объема обла­дает очень маленьким магнитным моментом. А поскольку про­тонный момент составляет только одну тысячную долю атомного момента, то намагниченность, которая ведет себя как m2 [см. уравнение (35.22)], будет в миллион раз слабее обычной атомной парамагнитной намагниченности. (Вот почему мы должны вы­бирать материал, у которого отсутствует атомный парамагне­тизм.) После того как мы подставим все величины, окажется, что разность между числом протонов со спином, направленным вверх, и спином, направленным вниз, составляет всего несколь­ко единиц на 108, так что эффект и в самом деле очень мал! Однако его можно наблюдать следующим образом.

Предположим, что мы поместили ампулу с водой внутрь не­большой катушки, которая создает слабое горизонтальное осциллирующее магнитное поле. Если это поле осциллирует с частотой wp, то оно вызовет переходы между двумя энергетичес­кими состояниями точно так же, как это было в опытах Раби, которые мы описывали в § 3. Когда протон «сваливается» с верхнего энергетического состояния на нижнее, он отдает энер­гию mzB, которая, как мы видели, равна hwp. Если же он пере­ходит с нижнего состояния на верхнее, то будет отбирать энер­гию hwpу катушки. А поскольку в нижнем состоянии имеется немного больше протонов, чем в верхнем, то из катушки будет поглощаться энергия. И хотя эффект весьма мал, с помощью чувствительного электронного усилителя можно наблюдать даже столь малое поглощение энергии.

Как и в эксперименте Раби с молекулярными пучками, поглощение энергии будет заметно только тогда, когда ос­циллирующее поле находится в резонансе, т. е. когда

7. Физика сплошных сред

Часто удобнее искать резонанс, изменяя В и оставляя посто­янной w. Очевидно, что поглощение энергии происходит, когда

7. Физика сплошных сред

Типичная установка, применяемая при изучении ядерного магнитного резонанса, показана на фиг. 35.8.

7. Физика сплошных сред

Фиг. 35.8. Схема аппаратуры для изучения ядерного магнитного резонанса.

Между полюсами большого электромагнита помещена небольшая катушка, пи­таемая высокочастотным генератором. Вокруг наконечников полюсов магнитов намотаны две вспомогательные катушки, питаемые током с частотой 60 гц, так что магнитное поле не­много «колеблется» вокруг своего среднего значения. Для при­мера скажу вам, что ток главного магнита создает поле в 5000 гс, а вспомогательные катушки изменяют его на ±1 гс. Если гене­ратор настроен на частоту 21,2 Мгц, то протонный резонанс будет происходить всякий раз, когда поле проходит через 5000 гс [используйте соотношение (34.13) для протона с вели­чиной g=5,58].

Схема генератора устроена так, что дает на выход дополни­тельный сигнал, пропорциональный изменению мощности, поглощенной из генератора, а этот сигнал подается после усиления на вертикально отклоняющие пластины осциллографа. В го­ризонтальном направлении луч пробегает один раз за каждый период изменения дополнительного вспомогательного поля. (Впрочем, чаще горизонтальная развертка делается пропор­циональной частоте вспомогательного поля.)

До того как внутрь высокочастотной катушки мы поместим ампулу с водой, мощность, отдаваемая генератором, имеет какую-то величину. (Она не изменяется с изменением магнит­ного поля.) Но как только внутрь катушки мы поместим не­большую ампулу с водой, на экране осциллографа появляется сигнал (см. фиг. 35.8). Мы непосредственно видим график мощности, поглощаемой протонами!

На практике трудно установить, когда основной магнит создает поле точно 5000 гс. Ток в главном магните обычно под­бирают, изменяя его постепенно до тех пор, пока на экране не появится резонансный сигнал. Оказывается, на сегодняшний день это наиболее удобный способ точного измерения напря­женности магнитного поля, Разумеется, кто-то должен был когда-то точно измерить магнитное поле и частоту и определить величину g для протона. Однако сейчас, после того как это уже сделано, протонную резонансную аппаратуру типа той, что изображена на рисунке, можно использовать как «протонный резонансный магнитометр».

Несколько слов о форме сигнала. Если бы мы очень медленно изменяли магнитное поле, то можно было бы ожидать, что мы увидим нормальную резонансную кривую. Поглощение энер­гии достигло бы максимума, когда частота генератора была бы в точности равна wp. Небольшое поглощение происходило бы, конечно, и при близлежащих частотах, так как не все протоны находятся в точности в одинаковом поле, а различные поля означают несколько отличные резонансные частоты.

Но так ли все это? Должны ли мы на самом деле видеть при резонансной частоте какой-то сигнал? Не следует ли ожидать, что высокочастотное поле выравнивает населенность обоих состояний, так что, за исключением первого момента, никакого сигнала не будет, когда вода помещается внутрь поля? Не сов­сем так, поскольку хотя мы и стараемся выровнять обе населен­ности, тепловое движение со своей стороны старается сохранить равновесные значения, присущие данной температуре Т. Если мы находимся точно в резонансе, то мощность, поглощенная ядрами, в точности равна мощности, теряемой на тепловое движение. Однако «тепловой контакт» между системой протон­ных магнитных моментов и атомным движением довольно сла­бый. Каждый протон относительно изолирован в центре элект­ронного облака. Таким образом, чистая вода дает слишком слабый резонансный сигнал, чтобы его можно было заметить. Для увеличения поглощения необходимо улучшить «тепло­вой контакт». Это обычно делается путем добавления в воду небольшого количества окиси железа. Атомы железа — совсем как маленькие магнитики, и когда они прыгают туда и сюда в своем «тепловом танце», то создают слабенькое прыгающее маг­нитное поле, которое действует на протоны. Эти изменяющиеся доля «связывают» протонные магнитные моменты с атомными колебаниями и стремятся восстановить тепловое равновесие. Именно из-за этого взаимодействия протоны в состояниях с большой энергией теряют свою энергию и снова становятся способными к поглощению энергии генератора.

На практике же сигнал на выходе ядерной резонансной аппаратуры не похож на обычную резонансную кривую. Обыч­но это более сложный сигнал с осцилляциями, похожими на те, что изображены на фиг. 35.8. Такая форма сигнала обусловлена изменяющимися полями. Объяснять ее следовало бы с точки зрения квантовой механики, однако можно показать, что объ­яснение таких экспериментов при помощи представлений клас­сической физики, как мы их использовали выше, тоже дает правильный ответ. С точки зрения классической физики мы бы сказали, что когда мы попадаем в резонанс, то синхронно начинаем раскачивать множество прецессирующих ядерных магнитиков. В результате мы их заставляем прецессировать все вместе. А вращаясь все вместе, эти маленькие магнитики создают в катушке индуцированную э.д.с. с частотой, равной wp . Но поскольку со временем магнитное поле увеличивается, то увеличивается и частота прецессии, поэтому наведенное напряжение вскоре приобретает частоту, большую, чем частота генератора. Так как при этом наведенная э.д.с. попеременно попадает то в фазу, то в противофазу с переменным внешним полем, «поглощенная» мощность становится попеременно то положительной, то отрицательной. Таким образом, на экране мы видим запись биений между частотой протона и частотой генератора. Из-за того что частоты не всех протонов в точности одинаковы (разные протоны находятся в нескольких различных полях), а возможно, и в результате возмущений, вносимых атомами железа, находящимися в воде, свободно прецессирующие моменты скоро выбиваются из фазы и сигналы биений исче­зают.

Эти явления магнитного резонанса используются во многих методах как орудие выяснения новых свойств вещества — осо­бенно в химии и в физике. Я не говорю уже о том, что число магнитных моментов ядра говорит нам кое-что и о его структуре. В химии многое можно узнать из структуры (или формы) резонансов. Благодаря магнитным полям, создаваемым близлежа­щими ядрами, точная частота ядерного резонанса для данного частного атома немного сдвигается; величина этого сдвига зависит от окружения, в котором он находится. Измерение этих сдвигов помогает определить, какой атом находится рядом с каким, и проливает свет на детали структуры молекул. Столь же важен и электронный спиновый резонанс свободных ради­калов. Такие радикалы, обычно крайне неустойчивые, часто появляются на промежуточных этапах ряда химических реак­ций. Измерение электронного спинового резонанса служит очень чувствительным индикатором при обнаружении свободных радикалов и часто дает ключ к пониманию механизма некоторых химических реакций.

* Обычные пары натрия в основном моноатомны, хотя изредка там и встречаются молекулы Na2.



Глава 34 МАГНЕТИЗМ ВЕЩЕСТВА | 7. Физика сплошных сред | Глава 36 ФЕРРОМАГНЕТИЗМ