§ 76. Как описать окружность около данного треугольника

Предварительное упражнение

Во скольких точках могут пересечься три прямые линии?

Докажем сначала, что описать окружность можно около всякого треугольника, какой бы формы он ни был. Пусть у нас имеется треугольник ABC(черт. 214). Около него можно будет описать окружность, если удастся найти такую точку О, которая одинаково удалена от трёх его вершин A, В и С. Найдем сначала все точки, одинаково удаленные от точек А и В; они расположены, мы знаем (§ 55) на перпендикуляре Dd(черт. 215),

проведенном через середину стороны АВ. Затем найдем все точки, одинаково удаленные от вершин В и С; они расположены на перпендикуляре Ее, проведенном через середину ВС. Точка О их пересечения одинаково удалена от трех вершин треугольника А, В и С, а следовательно, это и есть центр описанной окружности.

Так как подобное рассуждение применимо ко всякому треугольнику, то не существует такого треугольника, около которого нельзя было бы описать окружности. Способ же построения ее вытекает из сказанного: надо провести перпендикуляры через середины двух сторон треугольника; точка пересечения перпендикуляров есть центр описанной окружности; соединив ее с одной. из вершин треугольника, найдем радиус этой окружности. Итак:

о к о л о в с я к о г о т р е у г о л ь н и к а м о ж н о о п и с а т ь о к р у ж н о с т ь; ц е н т р е е л е ж и т н а п е р е с е ч е н и и п е р п е н д и к у л я р о в, п р о в е д е н н ы х ч е р е з с е р е д и н у д в у х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а. Попутно мы можем установить следующее свойство треугольника. Так как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через середины двух сторон треугольника, одинаково удалена от концов третьей стороны, то она должна находиться и на перпендикуляре, проведенном через середину этой стороны треугольника. Значит: п е р п е н д и к у л я р ы, п р о в е д е н н ы е ч е р е з с е р е д и н ы т р е х с т о р о н т р е у г о л ь н и к а, п е р е с е к а ю т с я в о д н о й т о ч к е.