Великий треугольник Паскаля

Он выходит из комнаты и тут же возвращается с большой корзиной.

— Что это? — изумляется Паскаль. — Пушечные ядра?

— Яблоки, дорогой мой. Яблоки из моего тулузского рая.

— О! — Паскаль тронут. — Как это мило с вашей стороны.

— То ли вы скажете, когда их попробуете, — откровенно хвастает Ферма. — Знаете что, вы ешьте, а я пока разложу яблоки на столе. С некоторых пор я все время что-нибудь раскладываю и группирую: увлекся фигурными числами.

— Так это и есть ваш секрет?

— Мм… отчасти.

— Решили, стало быть, пойти по стопам Пифагора.

— Отчего же только Пифагора? Фигурными числами занимались еще в Древнем Вавилоне… Так вот, заинтересовавшись фигурными числами, я стал их выкладывать из чего придется. Чаще всего из яблок. Выложу, например, как сейчас, несколько равносторонних треугольников. Первый треугольник — условный, он состоит из одного яблока. Второй — из трех, следующий —из шести, затем — из десяти.

— В общем, получился ряд треугольных чисел. Но что из этого следует? — торопит Паскаль.

— Теперь выложим яблоки пирамидками и получим пирамидальные числа, — тянет Ферма, словно не замечая нетерпения собеседника. — Один, четыре, десять, двадцать…

— А дальше? К чему вы клоните?

— Просто мне захотелось узнать, как вычислить заранее, сколько понадобится яблок, чтобы выложить любое фигурное число, взятое, скажем, из ряда треугольных: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28… Или из пирамидальных: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84… Попутно я загорелся желанием выяснить, сколько вариантов группировок можно составить из некоего количества предметов или чисел.

По мере того как он говорит, лицо Паскаля становится все более напряженным.

— Так, так, продолжайте, — понукает он.

— Допустим, у нас есть восемь яблок, а лучше — восемь разноцветных шариков. Мы хотим узнать, сколько можно составить из них всевозможных группировок, раскладывая каждый раз по три шарика.

— Иными словами, найти число сочетаний из восьми по три.

Ферма глядит на Блеза с откровенным восхищением. Опять определение, и какое! Но Паскалю не до похвал.

— Не отвлекайтесь, прошу вас. Дальше, дальше…

Ферма пожимает плечами. Что же может быть дальше? Само собой, он стал искать способ, позволяющий определять число сочетаний.

— И нашли?!

— Ничего другого мне не оставалось.

Блез в изнеможении откидывается на спинку дивана. Невероятно!

— Не понимаю, что вас поражает? — в свою очередь обескуражен Ферма. — Мой способ очень прост. Кажется, мы собирались найти число сочетаний из восьми по три? Отлично. Для этого пишем подряд все натуральные числа от единицы до восьми включительно. Затем объединяем три числа, стоящие слева: 1, 2, 3, и три числа, стоящие справа: 8, 7, 6, а потом перемножаем каждую тройку чисел и составляем из их произведений дробь. При этом левая часть будет знаменателем, а правая — числителем. Итак, что у нас получилось?

Паскаль подсчитывает: