home | login | register | DMCA | contacts | help | donate |      

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я


my bookshelf | genres | recommend | rating of books | rating of authors | reviews | new | форум | collections | читалки | авторам | add

реклама - advertisement



Комментарии

1

1Примечания даются не в виде сносок, а собраны все вместе после основного текста. Некоторые из них даже имеют собственные названия. Здесь приводится их список с порядковыми номерами (средний столбец) и номерами разделов, к которым данные примечания относятся (правый столбец). - Прим. перев.Примечания 44' и далее (к § 50 «Груз прошлого») не вошли в этот список: они составляют часть «Похороны». От издателя

2

2Речь идет о книге в целом - прим. перев.

3

3Робер Жолэн - мой старинный друг. По моим представлениям, выйдя один на один с узаконенным сводом нравов сообщества этнологического, он поставил себя в положение («белой вороны»), в чем-то сходное с моим противостоянием «высшему свету» в математике.

4

4Сильви и Катрин Шевалле - вдова и дочь Клода Шевалле, коллеги и друга, которому посвящена центральная часть «РС» (PC III, «Ключ к Инь и Ян»). И на страницах моих раздумий я неоднократно говорю о нем и о той роли, которую он сыграл в выборе моего пути.

5

5Между 1945 и 1948 годами мы с матерью жили в маленькой деревушке Мераргю (неподалеку от Вераргю), затерянной среди виноградников, в десяти километрах от Монпелье. (Мой отец погиб в Освенциме в 1942 г.) Чтобы сводить концы с концами, я участвовал каждый год в сборе винограда, а после из того, что было забыто на лозе, делал вино, которое и продавал кое-как (кажется, в нарушение действовавших тогда законов). Кроме того, рядом был сад, который, хоть никто за ним и не ухаживал, в изобилии поставлял нам фиги, шпинат и даже (под конец) помидоры, посаженные любезным соседом на острове в море великолепных маков. То была красивая жизнь, но не без ям на дороге - когда нужно было заменить оправу очков или ботинки, изношенные до нитки. К счастью, моя мать, ослабленная и больная вследствие долгого пребывания в лагерях, имела право на бесплатную медицинскую помощь. У нас ни за что не достало бы денег на лечение…

6

6Я поместил короткий рассказ об этом переходном периоде, довольно трудном, в первой части «РС», в разделе «Желанный иностранец».

7

7Это несколько неточная формулировка. Я не мог «научиться быть один» по той простой причине, что я никогда и не разучивался', в детстве эта способность была со мной - с рождения, как и со всяким другим ребенком. Но три года уединенного труда, когда я смог дать самому себе оценку, исходя из моих собственных внутренних критериев, подтвердили и обновили во мне, по отношению к математическим занятиям на этот раз, основу спокойной уверенности в себе, не подчиненной законодательству общепринятых соглашений или велениям моды. Я еще коснусь этого в примечании «Корни и одиночество» (PC IV, п° 171/3, в особенности стр. 1080).

8

8Так, возможные исправления ошибок (фактических, во взгляде на вещи и пр.) не вводятся ретушевкой первого наброска, а появляются в виде сносок внизу страницы или во время позднейшего возвращения к тому же вопросу.

9

9Для уточнений по поводу «резкого вызова» см. «Письмо», особенно разделы 3-8.

10

10Ожидаемое примечание по завершении вылилось в часть IV «РС», состоящую из 70 примечаний, растянувшуюся на добрые четыреста страниц.

11

11В равной мере и здесь, и там в дополнение к математическим обзорам уже завершенного мной труда содержатся новые математические разработки. Из них самая длинная - «Пять фото (кристаллы и Х›-модули)» в «РС» IV, примечание п° 171 (ix).

12

12Главная тому причина мне видится в наличии определенного благоприятного климата, окружавшего меня в детстве, начиная с пятилетнего возраста. См. по этому поводу примечание «Невинность» (PC III, п° 107).

13

13Этот образ-архетип строящегося дома в первый раз всплыл на поверхность и нашел словесное выражение в примечании «Инь-слуга и новые хозяева» (PC III, п° 135).

14

14Я рассказываю об этих шагах в разделе «Долгожданный иностранец» (PC I, §9).

15

15Это не помешало мне (вслед за Картаном и Серром) войти в число тех, кто активнейшим образом применял, пропагандировал и способствовал развитию одного из важнейших новаторских понятий, введенных Лерэ, то есть понятия пучка, занявшего место в ряду главных инструментов для моего труда, посвященного геометрии. Оно же снабдило меня ключом к расширению понятия пространства (топологического) до понятия топоса, о котором пойдет разговор ниже.

16

16Крадучись в обход прямого смысла, тайком, я соединил в этом месте два мужественно звучащих наименования («строитель» и «первопроходец»), которые отражают, однако, весьма различные аспекты импульса к открытию - более тонкие по своей природе, чем эти два слова способны передать. Нам еще предстоит с этим столкнуться во время прогулки-раздумья, на этапе «Открытие Матери, или два склона» (§17).

17

17Тем самым он невольно устанавливает в этой древней (если не для него самого, то, по крайней мере, для менее подвижных его сородичей) Вселенной новые границы, новые круги, конечно, просторнее прежних, но столь же невидимые, столь же властные, как и те, которые он, восстав, смог лишь заменить.

18

18Именно так обстояли дела в математике в период с 1948 по 1969 г., чему я был непосредственным свидетелем, когда сам входил в математическое сообщество. После моего ухода в 1970 г. наблюдалось что-то похожее на широкомасштабное сопротивление, вроде «всеобщего презрения», по отношению к «идеям» вообще, и особенно к важнейшим новаторским идеям, мною предложенным.

19

19Большинство моих старших коллег (о чем говорится, например, в разделе «Желанный долг», Введение, §10) относятся к этому промежуточному типу. В особенности мне приходят на ум Анри Картан, Клод Шевалле, Андре Вейль, Жан-Пьер Серр, Лоран Шварц. Впрочем, они все, кроме, быть может, Вейля, сочувственным взглядом, «не тая ни тревоги, ни укора», провожали меня в мои уединенные походы за приключениями.

20

20Конечно, это справедливо не для одного только «нашего искусства», но и (как мне кажется) для всякого труда, связанного с открытием, по крайней мере, в русле умственного познания.

21

21Всякая точка зрения приводит к развитию языка, на котором она может быть выражена, именно ей присущего. Иметь несколько «глаз»21, или «точек зрения», для изучения ситуации означает также (по крайней мере в математике) располагать несколькими различными языками, чтобы подойти к ней со всех сторон.

22

22Образ сомнамбулы был мне навеян названием замечательной книги Кестлера «Сомнамбулы» (изд. Кальман Леви), представляющей собой «Очерк истории концепций Вселенной» (со времен зарождения научной мысли до эпохи Ньютона). Одна из особенностей этой истории поразила Кестлера, а именно - до какой степени иногда путь от одной точки на маршруте познания мира до другой, как будто бы (по логике вещей и в перспективе многих лет) к ней совсем близкой, претерпевает немыслимые повороты, словно нарочно бросая вызов здравому смыслу; и как при этом, пройдя тысячу поворотов и, кажется, заблудившись безвозвратно, с «уверенностью сомнамбулы» люди, которые отправлялись на поиски «ключей» к устройству Вселенной, натыкались, как бы вопреки себе и часто не отдавая себе в том отчета, на другие «ключи», существования которых они решительно не предвидели, и которые, однако, оказываются «подходящими».

23

23Начиная с шестидесятых годов, часть из них написана совместно с коллегами (прежде всего Ж. Дьедонне) и учениками.

24

24Важнейшим из этих понятий сделан обзор в «Тематическом очерке» и в сопровождающем его «Историческом комментарии», которые будут включены в четвертый том «Раздумий». Некоторые из названий были мне предложены друзьями и учениками, как, например, термин «гладкий морфизм» (Ж. Дьедонне) или набор понятий «ситус, стэк, джерб, связка», получивших развитие в диссертации Жана Жиро.

25

25К тому моменту, как я покинул математическую сцену в 1970 г., общая масса моих публикаций (многие из которых написаны в соавторстве), имеющих центральной темой схемы, должно быть, составляла около десяти тысяч страниц. Это, однако, лишь скромная часть программы широкого масштаба, относящейся к схемам, которую я видел перед собой. Стоило мне удалиться со сцены - и эта программа была заброшена на неопределенное время, как нечто не сулящее перспектив… а ведь (за очень редкими исключениями) все, что я когда-либо заметил и затем развивал для передачи в общее распоряжение, благополучно вошло в копилку «хорошо известных», активно используемых в науке вещей.

26

26Вот, для заинтересованного читателя-математика, список этих двенадцати главных идей, или «ключевых тем» моего труда (в хронологическом порядке их появления):

27

27Из этих тем наиболее обширной по своей значимости мне представляется тема топосов, которая осуществляет идею синтеза алгебраической геометрии, топологии и арифметики. Самой объемной по числу приложений, получивших развитие уже на настоящий момент, оказалась теория схем. (См. по этому поводу сноску на предыдущей странице.) Именно она в полном смысле слова составила среду обитания еще восьми из рассматриваемых тем (то есть всех остальных, кроме первой, пятой и де-

28

28Единственный «полуофициальный» текст, в котором эти три темы мало-мальски обрисованы - «Набросок программы», составленный в январе 1984 г. по случаю запроса из CNRS. Этот текст (о нем говорится также в третьем параграфе «Введения», «Компас и багаж») будет в основе своей включен в четвертый том «Раздумий».

29

29Сentre national de la recherche scientifique = Национальный центр научных исследований - прим. перев.

30

30Схоронив втихомолку, чуть не на другой день после моего ухода, этих трех сирот, двух из них потом вырыли с оркестром, позабыв упомянуть труженика-родителя: одну в 1981 г., и другую (ввиду безусловного успеха предыдущей операции) на год позже.

31

31Оговорки эти относятся прежде всего к йоге дуальности Гротендика (производные категории и шесть операций) и топосов. О них (и еще о многом другом) речь пойдет более подробно в частях II и IV «РС» («Похороны» (1) и (3)).

32

32Год 1957 г. - тот самый, когда мне удалось настичь по горячему следу тему «Римана-Роха» (версия Гротендика), которая сразу же принесла мне «всеобщую известность». Это также год смерти моей матери, то есть резко выделенный в моей жизни - и один из наиболее интенсивно творческих, причем не на одной только математической ниве. Двенадцать лет уже шло тому, как все мои силы были вложены в математику. И я вдруг ясно почувствовал, что мои занятия сделали почти «полный оборот» по кругу, так что на часах, пожалуй, время их оставить и взяться за что-то другое. Очевидно, то была потребность духовного обновления, впервые тогда ко мне подступившая. Я собрался было стать писателем, и на многие месяцы прекратил всякую деятельность, связанную с математикой. Под конец я решил, что запишу черным по белому хотя бы те математические работы, какие у меня уже были начаты; без сомнения, дело нескольких месяцев, года самое большее…

33

33Мне в первый раз пришло в голову этому видению дать название в «Раздумьи» от 4 декабря 1984 г. (сноска п° 136/1 к примечанию «Инь-слуга (2), или великодушие» - PC III, стр. 637).

34

34То, что этот образ должен оставаться расплывчатым, нисколько не мешает ему быть верным истинной сути объекта, о котором идет речь (в данном случае моего труда). Наоборот, образ ясный и отчетливый может оказаться сильно искаженным, и к тому же содержать в себе лишь побочные, второстепенные черты объекта, совершенно опуская главные. И потом, если в тебе «найдет зацепку» то, что я скажу о своем труде (а тем самым, разумеется, и кое-что от того образа, который действительно «проносится» предо мной), ты сможешь похвастаться куда лучшим пониманием его сути, чем, пожалуй, любой из моих ученых коллег.

35

35Здесь имеются в виду «натуральные числа» 0, 1, 2, 3 и т.д., или (в крайнем случае) числа (дробные), которые нужны как подручные для выполнения элементарных действий. Они не претендуют на то, чтобы, подобно «вещественным числам», измерять величины, способные к непрерывному изменению - такие, как расстояние между двумя точками, движущимися вдоль прямой, на плоскости или в пространстве.

36

36Я использую сочетание слов «захлестывающий, сверх всякой меры», чтобы кое-как передать выражение «uberwaltigend» из немецкого и его английский эквивалент «overwhelming». В предыдущем предложении выражение (неадекватное) «захватывающее ощущение» следует воспринимать со следующей окраской: то, что бывает, когда мы сталкиваемся с невероятным великолепием, величием и красотой вне рамок обыденного, так, что чувства лавиной обрушиваются на нас - и тогда любая робкая попытка описать, что творится с нашими душами, заранее обречена на неудачу.

37

37Я знал об этой «мечте Кронекера» лишь понаслышке до тех пор, пока кто-то (вполне возможно, что это был Джон Тэйт) не сказал мне, что я нахожусь в процессе ее осуществления. Образование, которое я получал от старших коллег, ссылки на историю включало редко. Восполнялось это не чтением современных или сколько-нибудь древних авторов, но в первую очередь общением с другими математиками, непосредственным или по переписке, начатой старшими. Основным, даже может быть, единственным, внешним источником вдохновения для внезапного и бурного старта теории схем в 1958 г. была статья Серра, хорошо известная под сокращением АКП («Алгебраические когерентные пучки»), которая вышла в свет на несколько лет раньше. В остальном же все дальнейшее развитие теории питалось энергией, истекавшей по сути от нее самой. Поток этот возобновлялся с годами, хотя бы только в соответствии с требованиями простоты и внутренней согласованности, в попытке рассмотреть в новом контексте все «хорошо известное» в алгебраической геометрии (и усвоенное мной по мере того, как преобразовывалось, проходя через мои руки) - и то еще, что это «известное» дало мне возможность предугадать.

38

38По правде говоря, традиционно именно «непрерывный» аспект находился в центре внимания геометрии, в то время как свойства «дискретной природы», в частности численные и комбинаторные, было принято обходить молчанием, или кой-как, мельком учитывать. И воистину с восхищением десять лет назад я обнаружил богатства комбинаторики икосаэдра, а ведь эта тема совсем не затронута (может быть, даже не замечена) Клейном в его классической книге об икосаэдре. Другой поразительный признак той же (двухтысячелетней) небрежности геометров, которые стояли лицом к лицу с дискретными структурами, самопроизвольно проникшими в геометрию, мне видится в том, что понятие группы (симметрии, в частности) не появлялось вплоть до конца прошлого века - и поначалу оно было введено (Эваристом Галуа) в контексте, который тогда не почитался частью геометрических владений. Правда, что и в наши дни есть немало алгебраистов, все еще не разобравших, что теория Галуа - видение по сути своей геометрическое, которому удалось обновить наше понимание явлений, именуемых «арифметическими»…

39

39Андрэ Вейль, французский математик, эмигрировавший в Соединенные Штаты, один из «членов-основателей» группы Бурбаки, о которой немало будет сказано в первой части «РС» (как, впрочем, и о самом Вейле).

40

40 (Предназначается для читателя-математика.) Речь идет о «конструкциях и рассуждениях», связанных с когомологической теорией комплексных или гладких многообразий, в частности, включающих формулу неподвижных точек Лефшеца и теорию Ходжа.

41

41Речь идет о четырех «средних» темах (5-8), то есть темах топоса, мотивов, этальных и l-адических когомологии и (в меньшей степени) кристаллов. Я их извлек на свет одну за другой между 1958 и 1966 годами.

42

42 (Предназначается для читателя-математика.) Основным вкладом Зарисского в этом направлении мне представляется введение «топологии Зарисского» (ставшей позднее важным инструментом для Серра в АКП), его «принцип связности» и то, что он назвал «теорией голоморфных функций» - сделавшейся в его руках теорией формальных схем; также «теоремы сравнения» между формальным и алгебраическим (наряду с основополагающей статьей ГАГА Серра, вторым источником вдохновения). Что же до вклада Серра, о котором я упомянул в тексте, он, безусловно, заключается прежде всего во введении в абстрактную алгебраическую геометрию точки зрения пучков (предложенной Жаном Лерэ десятью годами раньше в совершенно ином контексте), в другой его важнейшей работе АКП («Алгебраические когерентные пучки»), о которой здесь уже говорилось.

43

43О бурном зарождении новой геометрии (1958 г.) идет речь в сноске п° 31. Понятие ситуса, или «топологии Гротендика» (предварительная версия понятия топоса), появляется по горячим следам понятия схемы. Оно, в свою очередь, предоставляет в распоряжение математиков новый язык «локализации» или «спуска», который применяется на каждом шагу при развитии темы и инструмента теоретико-схемных. Понятие топоса, более глубокое и геометрическое, остается невыраженным в явном виде в течение нескольких последующих лет; оно выбирается на свет главным образом начиная с 1963 г. с развитием этальных когомологии и понемногу заставляет признать себя первым из основополагающих.

44

44Удобно также включить в этот ряд и случай р = оо, соответствующий алгебраическим многообразиям «в характеристике нуль».

45

45Отчет об этом «бурном старте» теории схем был предметом моего доклада на Международном Конгрессе Математиков в Эдинбурге в 1958 г. Текст этого доклада мне представляется одним из лучших введений в теорию схем, способным (быть может) увлечь читателя-геометра идеей ознакомиться с внушительным трактатом (позднейшим) «Начала Алгебраической Геометрии», в котором тщательным образом (не опуская ни единой технической подробности) излагаются новые основы и новые методы алгебраической геометрии.

46

46Говоря о понятии «предела», я подразумеваю здесь в первую очередь «предельный переход», скорее чем понятие «границы» (которое ближе нематематику).

47

47По правде говоря, инварианты, введенные Бетти, были гомологиями. Когомологии, более или менее эквивалентные им, «дуальные» понятия, были введены гораздо позднее. Этот аспект обрел превосходство над начальным, «гомологическим», главным образом, бесспорно, вслед за введением Жаном Лерэ точки зрения, основанной на понятии пучка, о чем говорится ниже. В техническом отношении можно сказать, что огромная часть моего труда в области геометрии состояла в извлечении на свет и развитии в тех или иных пределах недостающих когомологических теорий для пространств и многообразий всех видов, прежде всего «алгебраических многообразий» и схем. Мне привелось, прокладывая дорогу, истолковать традиционные гомологические инварианты в терминах когомологических, и тем самым представить их в совершенно новом свете.

48

48Парадоксально, у Вейля был прочный «барьер», очевидно, инстинктивный, против когомологического формализма - при том, что именно его прославленные гипотезы в значительной мере послужили основой для развития важнейших когомологических теорий в алгебраической геометрии, начиная с 1955 г. (первоначальный толчок процессу был дан Серром, с его основополагающей статьей АКП, уже упоминавшейся в одной из предыдущих сносок).

49

49(Предназначено для математика.) По правде говоря, здесь речь идет о пучках множеств, а не о пучках абелевых групп, введенных Лерэ как самые общие коэффициенты «теории когомологии». Думаю, что я первым начал систематически работать с пучками множеств (начиная с 1955 г., в моей статье «Общая теория расслоенных пространств со структурным пучком», изданной в Канзасском Университете).

50

50(Предназначено для математика.) Строго говоря, это справедливо лишь для пространств, называемых «трезвыми». Они, однако же, составляют почти все типы пространств, с какими обыкновенно сталкиваешься - в частности, таковы все «отделимые» пространства, излюбленные аналитиками.

51

51«Зеркало», о котором речь, таково, что если поместить перед ним пространство, оно даст (как в «Алисе в стране чудес») в качестве «отражения» соответствующую

52

52 (Предназначено для математика.) Здесь речь идет прежде всего о свойствах, которые я ввел в теорию категорий под названием «свойства точности» (одновременно с современным категорным понятием общих индуктивных и проективных «пределов»). См. русский перевод «О некоторых вопросах гомологической алгебры», Библиотека сборника «Математика«, Москва, 1961.

53

53Так, можно построить топос весьма «объемный», в котором будет только одна «точка» - или вовсе ни одной!

54

54 Название «топос» было выбрано (в связи с понятием «топология» или «топологический»), чтобы наводить на мысль о том, что речь идет об объекте, в полном смысле слова относящемся к области топологической интуиции. По обилию мысленных образов, которые слово «топос» вызывает, его можно рассматривать как более или менее эквивалент термину «пространство» (топологическое), просто сильнее подчеркивая «топологическую» специфику понятия. (Так, есть «векторные пространства», но не «векторные топосы», вплоть до нового распоряжения!) Необходимо сохранить оба выражения, каждое со своей спецификой.

55

55Среди них есть, в частности, конструкции известных «топологических инвариантов», переведенные на новый язык инвариантами когомологическими. Для этих последних я сделал все, что требовалось, - в статье, уже упоминавшейся («О некоторых вопросах гомологической алгебры», 1961) - чтобы придать им смысл для любого топоса.

56

56(Предназначается для читателя-математика.) Когда я говорю «довести до конца эту скромную идею», то имею в виду идею этальных когомологии, как подход к гипотезам Вейля. Именно под этим лозунгом произошло открытие мною понятия ситуса в 1958 г. и дальнейшее развитие его (или очень близкого к нему понятия топоса) и формализма этальных когомологии под моим руководством (с помощью нескольких сотрудников, о которых я скажу в свое время) между 1962 и 1966 годами.

57

57(Предназначено для математика.) Гипотезы Вейля находятся в зависимости от предположений арифметической природы: именно, рассматриваемые в них многообразия должны быть определены над конечным полем. С точки зрения когомологического формализма это приводит к тому, что особое место получает эндоморфизм Фробениуса, соответствующий данной ситуации. При моем подходе ключевые свойства (типа «обобщенной теоремы об индексе») связаны с произвольными алгебраическими соответствиями и не требуют никаких ограничений арифметической природы над основным полем, предварительно заданным.

58

58При этом после моего ухода в 1970 г. весьма четко наметилось движение реакции, которое вылилось в ситуацию относительного застоя, о которой я не раз упомяну при случае на страницах «РС».

59

59«Обыкновенные» значит здесь: «определенные над полем комплексных чисел». Теория Ходжа (называемая также гармоническими интегралами) была мощнейшей из известных когомологических теорий в контексте комплексных алгебраических многообразий.

60

60Эта тема - наиболее глубокая по крайней мере за весь «открытый» период моей математической деятельности, между 1950 и 1969 годами, то есть вплоть до того момента, как я оставил математическую сцену. Я считаю тему анабелевой алгебраической геометрии и теорию Галуа-Тейхмюллера, получившие развитие, начиная с 1977 г., сравнимыми с ней по значению.

61

61 (Предназначается для читателя, занимающегося алгебраической геометрией.)

62

62 (Предназначается для читателя-математика.) Эти теории соответствуют, по порядку, когомологиям Бетти (определенным с трансцендентной точки зрения, с помощью вложения основного поля в поле комплексных чисел), когомологиям Ходжа (определенным Серром) и когомологиям де Рама (определенным мной); две последние относятся еще к пятидесятым годам (а теория Бетти - к предыдущему столетию).

63

63(Предназначается для читателя-математика.) Например, если / - эндоморфизм алгебраического многообразия X, индуцирующий эндоморфизм пространства когомологии Нг(Х), «характеристический многочлен» последнего должен быть многочленом с целыми коэффициентами, не зависящими от выбора конкретной когомологической теории (например, /-адической для различных /). То же верно для общих алгебраических соответствий, если X собственное и гладкое. Печальная истина (дающая представление о плачевном состоянии заброшенности когомологической теории алгебраических многообразий в характеристике р › О, считая с моего ухода) состоит в том, что это не доказано по сей день даже для частного случая, когда X есть

64

64(Предназначается для читателя-математика.) Другой способ представить себе категорию мотивов над полем к - рассмотреть ее как что-то вроде «обертывающей абелевой категории» для категории отделимых схем конечного типа над к. Мотив, соответствующий такой схеме X (или «мотивные когомологии X», которые я обозначаю Н^о1.(Х)) оказывается, таким образом, некоей абелианизированной «аватарой» X. Самое важное здесь, что совершенно так же, как алгебраическое многообразие X поддается «непрерывной деформации» (его класс изоморфизма зависит от непрерывных «параметров», или «модулей»), мотив, соответствующий X, или, более общо, «переменный» мотив, также поддается непрерывной деформации. Этот аспект мо-тивных когомологии находится в разительном контрасте с тем, что происходит со всеми классическими когомологическими инвариантами, в том числе /-адическими, за единственным исключением когомологии Ходжа комплексных алгебраических многообразий.

65

65Я излагал свою точку зрения на мотивы тем, кто желал выслушать, на протяжении всех этих лет, не взяв на себя труда что бы то ни было опубликовать на этот предмет (в других насущных вопросах не было недостатка). Позже это дало возможность кое-каким из моих учеников «заимствовать» с пущей непринужденностью, под трогательным присмотром всех разом моих старинных друзей, прекрасно знакомых с истинным положением дел. (См. последующую сноску.)

66

66В действительности, эта тема была эксгумирована в 1982 г. (годом позже, чем тема кристаллов) под тем же названием на этот раз (и в более узкой форме: дело ограничивалось случаем основного поля характеристики нуль), только имя задумавшего ее работника не произносилось. Это один пример из множества прочих, когда тема или понятие, похороненные тут же после моего ухода как безумные гротенди-ческие причуды, бывали извлечены из могил одна за другой некоторыми из моих учеников в ходе десяти-пятнадцати последующих лет со скромным достоинством и (нужно ли уточнять) без упоминания работника…

67

67macho (исп.) - мужчина, мужской - прим. перев.

68

68То, что я говорю здесь о математической работе, столь же справедливо для труда «медитации» (о котором в том или иной мере говорится на всем протяжении «РС»). Я уверен и в том, что нечто подобное возникает на пути всякого труда открытия, включая работу художника (скажем, поэта или писателя). Два «склона», которые я пытаюсь здесь описать, можно рассматривать и по-другому: первый связан с выражением готовых идей и возникающими при этом потребностями технического толка; на второй же переходишь, чтобы принимать сигнал (то есть ощущения, впечатления всякого рода). Напряженное внимание, преобразуя такой сигнал, делает его источником вдохновения. Оба аспекта присутствуют в каждый момент работы; преобладает, по очереди, то один, то другой.

69

69Это не значит, что в моей работе не хватает так называемых «великих теорем». Их довольно, включая те, которые впервые разрешали давно висевшие в воздухе (не мной поставленные) вопросы. (Я сделал обзор некоторых из них в сноске на стр. 554 - в примечании «Море, которое вздымается…» (PC III, п° 122).) Но, как я подчеркнул в начале этой «прогулки» (на этапе «Точки зрения и видение, §6), эти теоремы обретают для меня свой полный смысл лишь в щедром на толкования контексте единой темы, порожденной одной из таких «плодотворных идей». Тогда уже их доказательство легко вытекает из самой природы, из «глубины» несущей их темы. Так волны в реке свободно рождаются от самой водяной глуби и несутся вперед плавно, без усилий. Я говорю о том же самом, используя иные образы, в примечании «Море, которое вздымается…» (см. выше).

70

70Сначала, приступая к Эпилогу, я собирался включить в него сжатый обзор некоторых из этих «глубоких изменений» и вкратце осветить эту «непрерывность по существу», как она мне виделась. Все же я передумал, дабы «Прогулка» не затянулась чрезмерно - и так уж она куда длиннее, чем я ожидал. Предполагаю вернуться к этому вопросу в Исторических Комментариях, намеченных для четвертого тома «РС», обращаясь на этот раз к читателю-математику (что должно полностью изменить задачи изложения).

71

71 Это утверждение (некоторым оно представляется чересчур категоричным) вполне выверено здравым смыслом. Оно ни более, ни менее соответствует действительности, чем утверждение (к нему я еще вернусь ниже) о том, что «ньютоновская модель» механики (земной или небесной) была «при смерти» в начале этого века, когда Эйнштейн явился ей на выручку. Несомненно, что еще и теперь для большей части «повседневных» ситуаций в физике модель Ньютона совершенно адекватна, и было бы нелепо (ввиду допустимой степени точности измерений) отправляться на поиски релятивистской модели. Точно так же, во многих ситуациях в математике привычные старинные понятия «пространства» и «многообразия» остаются абсолютно адекватными, так что нет нужды в погоне за нильпотентными элементами, топосами или «ручными структурами». Но и в том и в другом случае для растущего числа контекстов, участвующих в современных исследованиях, самые «обычные» ситуации не умещаются в рамках старинного восприятия.

72

72 (Предназначено для математика.) К этому «потомству» я отношу, в частности, формальные схемы, стэки (орбиобразия, «пространства» модулей - устоявшегося

73

73Случилось так, впрочем, что к этим двоим младенцам прибавился третий, еще младше, который появился на свет в менее мягкие времена - малютка ручное Пространство. Как я уже отмечал выше, у него нет свидетельства о рождении, и я совершенно незаконно включил его, несмотря на это, в число двенадцати «главных тем», которые я имел честь привнести в математику.

74

74Это, конечно, не слишком подробное описание идеи Эйнштейна. В техническом отношении, следует указать, какой структурой снабжено новое пространство-время (она, впрочем, уже «носилась в воздухе» после теории Максвелла и идей Лоренца). Существенный шаг вперед был не технической природы, но философской: принять в расчет, что понятие одновременности для событий, отдаленных в пространстве,

75

75Речь идет прежде всего о понятии «риманова многообразия» и тензорного исчисления над этим многообразием.

76

76Одна из самых поразительных черт, отличающих эту модель от евклидовой (или ньютоновской), а также от первой модели Эйнштейна (из «специальной теории относительности») состоит в том, что глобальная топологическая форма пространства-времени остается неопределенной, вместо того чтобы быть предписанной автоматически самой природой модели. Вопрос определения этой глобальной формы кажется мне (как математику) одним из самых увлекательных в космологии.

77

77Гипотетическую теорию, которая объединила и согласовала бы между собой все частичные теории, о которых идет речь, назвали «теорией великого объединения». У меня есть ощущение, что то, над чем здесь стоит основательно поразмыслить, распадается на нижеследующие два раздела.

78

78Я нимало не претендую на близкое знакомство с трудом Эйнштейна. На деле я не прочел ни одной из его работ и не узнал ни одной из его идей иначе, как со слуха, притом весьма приблизительно. Мне, однако, кажется, что я вижу лес за этими незнакомыми мне деревьями…

79

79Для пояснения, что значит «при смерти» в применении к математической модели, см. сноску п° 70.

80

80Как я это себе представляю (на основе отзвуков, долетавших до меня с разных сторон), в общем принято насчитывать в этом столетии три «революции», или великих переворота, в физике: теория Эйнштейна, открытие радиоактивности супругами Кюри, и введение квантовой механики Шредингером.

81

81 Еще в детстве, история (да и география, впрочем) меня никогда особенно не увлекала. (В пятой части «РС» (незавершенной) мне выдался случай «мимоходом» обнаружить то, что мне кажется глубокой причиной наличия у меня этого частичного «барьера» по отношению к истории - барьера, который начал, по моему, рассасываться в последние годы.) К тому же, математическое образование, полученное от старших, в «бурбакистском кругу», не навело в моей голове порядка: случайные ссылки на историю были в нем более чем редки.

82

82 Через несколько часов после написания этих строчек я был вдруг потрясен тем, что мне и в голову не пришло упомянуть здесь о широком синтезе разделов современной математики, который старался устроить союз (коллектив) Н. Бурбаки. (О группе Бурбаки будет сказано немало в первой части «РС».) Так вышло, мне кажется, по двум причинам.

83

83Эварист Галуа (1811-1832) был убит на дуэли, в возрасте двадцати одного года. Существует, я думаю, несколько его биографий. Я в юности читал о нем роман-биографию, написанный физиком Инфельдом и немало меня тогда поразивший.

84

84См. «Наследие Галуа» (PC I, §7).

85

85Я, впрочем, убежден, что Галуа пошел бы намного дальше меня. С одной стороны, из-за его исключительной одаренности (что до меня, моя доля куда меньше в этом отношении). С другой - потому, что он, возможно, не допустил бы, в отличие от меня, чтобы большая часть его энергии ушла на эти нескончаемые усилия: постепенно, вплоть до малейших деталей, приводить в должный вид то, что и так уже более или менее известно…

86

86Я понемногу, то здесь, то там, говорю о Клоде Шевалле на страницах «РС», в особенности в разделе «Встреча с Клодом Шевалле, или случай дать волю чувствам» (PC I, §11), и в примечании «Прощание с Клодом Шевалле» (PC III, примечание п° 100).


Часть II Самодовольство и обновление | Урожаи и посевы |