19. Уравнение неразрывности жидкости
Довольно часто при решении задач приходится определять неизвестные функции типа:
1) р = р (х, у, z, t) – давление;
2) nx(х, у, z, t), ny(х, у, z, t), nz(х, у, z, t) – проекции скорости на оси координат х, у, z;
3) ? (х, у, z, t) – плотность жидкости.
Эти неизвестные, всего их пять, определяют по системе уравнений Эйлера.
Количество уравнений Эйлера всего три, а неизвестных, как видим, пять. Не хватает еще двух уравнений для того, чтобы определить эти неизвестные. Уравнение неразрывности является одним из двух недостающих уравнений. В качестве пятого уравнения используют уравнение состояния сплошной среды.
Формула (1) является уравнением неразрывности, то есть искомое уравнение для общего случая. В случае несжимаемости жидкости ??/dt = 0, поскольку ? = const, поэтому из (1) следует:
поскольку эти слагаемые, как известно из курса высшей математики, являются скоростью изменения длины единичного вектора по одному из направлений X, Y, Z.
Что касается всей суммы в (2), то она выражает скорость относительного изменения объема dV.
Это объемное изменение называют пооразному: объемным расширением, дивергенцией, расхождением вектора скоростей.
Для струйки уравнение будет иметь вид:
где Q – количество жидкости (расход);
?– угловая скорость струйки;
?l – длина элементарного участка рассматриваемой струйки.
Если давление установившееся или площадь живого сечения ? = const, то ?? /?t = 0, т. е. согласно (3),
??Q/?l = 0, следовательно,